张背阴推导中间力场的拉格朗日力学

原问题 ：张背阴推导中间力场的张背拉格朗日力学

典型力学可能是人类最先建树起来的物理学实际，但它的阴推数学外在却不断在患上到丰硕 。从最后的导中 Newton 力学开始，经由18
，间力19世纪的拉格朗日力学数学家以及物理学家们的整理与睁开，典型力学如今习气于运用最小熏染量道理的张背语言妨碍论述。这种方式使患上典型力学外在的阴推数学妄想愈加清晰 ，也便于从方式上睁开力学钻研，导中而近代更是间力发现了最小熏染量道理以及量子力学之间千头万绪的分割。2023年10月6日，拉格朗日力学第一百七十八期开播，张背搜狐独创人，阴推董事局主席兼CEO,导中物理学博士张背阴学生坐镇搜狐视频直播间
，与广漠网友与物理喜爱者一起品评辩说最小熏染量道理表述下的间力力学纪律与配合的意见。

若何清晰 Lagrangian

在 Lagrange 力学中，拉格朗日力学一个力学零星的所有信息都经由一个被称为 Lagrangian 的标量函数来妨碍演绎综合。以一维不含时零星为例，它的 Lagrangian 可能写为狭义坐标 q 及其对于光阴导数的函数：

而最小熏染量道理说的便是在判断了零星行动的初末点的光阴以及坐标之后，在这之间着实爆发的行动理当使患上熏染量积分

取到极值 。像这样的对于某条详细的道路 q(t) 求解某个目的函数极值的下场在数学中被看做变分成绩的实例妨碍处置
 ，而这种下场的服从是发现极值道路需要知足 Euler-Lagrange 方程。而在力学中 ，假如取 L = T - V
，那末对于应的 Euler-Lagrange 方程将会以及 Newton 力学的能源学方程坚持不同。其中 T 是零星的动能，而 V 是零星的势能 。

更好地来清晰这件使命是若何妨碍的 ，人们可能将狭义坐标 q 以及它对于光阴的导数（狭义速率）——留意每一给定一条道路
 ，这两个量对于光阴的关连就判断了——画在一个平面上
，因此这样的平面上的线也就标志了这样道路的形态。

由于 L 是狭义坐标以及狭义速率的函数，因此这样画进去之后，每一条道路上的 L 的值都可能响应地妨碍合计，而熏染量 S 便是沿着道路把患上到的这样随光阴变更的 L 值看成是光阴的函数妨碍积分。力学纪律就像是有一个跳降生界之外的神，祂不断摆弄尽头以及尽头之间的可能道路，找到一条让 S 的值取患上极值的（艰深为最小值）的道路，而这条道路便是实际天下中爆发的行动轨迹。

中间力场下场

可能运用中间力场中质点的行动这一下场来演示实际运用 Lagrange 力学措施处置下场的步骤 。首先来一再一遍 Newton 力学的处置。中间力场中的质点的位置形貌依然取极坐标 （r, θ) 来实现
 ，那末其位置对于光阴的二阶导数有（留意极坐标基向量随位置的变更）

这也正是质点的减速率。假如中间力场是 Newton 的引力场 ，那末能源学方程就能写为

整理就患上到了两个倾向的份量方程：

在角向方程双方同乘 r 咱们很简略计划一个守恒量（正对于应角动量守恒）

接下来思考运用 Lagrange 力学的本领来取患上能源学方程。如前所述 ，零星的 Lagrangian 理当有动能减势能的方式 ，即

首先来魔难径向份量
，合计 Lagrangian 的一些偏导数有

那末有 Euler-Lagrange 方程

而后是角向份量，有

从而有

凭证最小熏染量道理，这两个方程就判断了中间力场中粒子的实际行动轨迹（能源学方程）。不美不雅到它们以及 Newton 力学的处置是残缺不同的，而且在 Lagrange 力学中角向的角动量守恒方程赶快患上到 ，而再也不需要审核方程方式积分取患上。

Fermat 道理

将物理学纪律表白为实际道路使患上某个量取极值的做法并非 Lagrange 力学的初创。事实上比 Lagrange 早100多年，Fermat 就已经意见到多少多光学中光线的实际转达轨迹对于应着某个量取患上极值，这种同力学中的熏染量临近位置的量被称为光程。其数学表白可能写为

其中 n 代表空间到处的折射率，而积分变量 dl 为光行走道路上的元弧长。这个极值下场差距于 Lagrange 力学，它要求光的起尽头位置判断而并非位置以及光阴 。ndl 的积分也被称为光程。而 Fermat 道理的表述正是牢靠起尽头的情景下，光在此间走的实际道路（光线）为使患上其光程最短的那条道路。假如思考到介质中光的相速率 v = c/n，那末也可能将 ndl 清晰为 c dl/v 正比于光经由这段线元的光阴 ，因此 Fermat 道理也每一每一被表述为“光线转达的道路是所需要光阴至少的道路”这样的最短期道理。尽管历史上 Fermat 道理提出的光阴更早
，可是清晰了 Lagrange 力学之后再回偏激来看 Fermat 道理概况能带来更多的开辟。在量子论提出从前，人们倾向于以为光是一种晃动。而明天人们清晰地从 de Broglie 关连清晰了光作为波同时也具备粒子的特色。折射率所抉择的光程同光的相位，动量都详尽地分割在一起 ，让 Fermat 道理的外在愈加丰硕 ，而光的本性至今仍是物理学中最怪异同时也最前沿的课题之一。

Fermat 道理可能被用于论证光经由介质概况时的折射定律
。这里来演示这个下场。首先需要清晰在平均介质中，由于 n 是个常数
，因此它可能提到积分号外边。于是光的道路作为两点之间最短的道路理当是直线。如今来思考两个平均介质之间存在平面界面的天气 ：

令 L 代表AB两点连线在界面上投影的距离
 ，由于光在平均介质中沿直线转达
，因此抉择光的实际道路的参数惟独其道路同界面的交点。不美不雅到
，取最长道路只爆发在该交点同A, B向界面的垂线所判断平面内。故 ，如图，取交点同A到界面的垂线垂足距离为 x，光程可能写为

合计这个函数对于 x 的极值 ，可能经由找它对于 x 的导数的零点实现，有

而这正是折射的 Snell 定律
。

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